11 standard maths exercise 2.3

     𝗘𝘅𝗲𝗿𝗰𝗶𝘀𝗲 – 𝟮.𝟯

1. 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐧𝐞𝐪𝐮𝐚𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧:

(i) x>

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

⇒ 𝐱 ∈ [-𝟏, 𝟒)

[] 𝐜𝐥𝐨𝐬𝐞𝐝 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥, 𝐞𝐧𝐝 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 𝐚𝐫𝐞 𝐢𝐧𝐜𝐥𝐮𝐝𝐞𝐝

() ➝ 𝐨𝐩𝐞𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥

𝐞𝐧𝐝 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 𝐚𝐫𝐞 𝐞𝐱𝐜𝐥𝐮𝐝𝐞𝐝.

(2) 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐧𝐞𝐪𝐮𝐚𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧:

(𝐢𝐢) 𝐱 ≤ 𝟓 𝐚𝐧𝐝 𝐱 ≥ -𝟑

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐱 ∈ [-𝟑, 𝟓)

(3) 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐧𝐞𝐪𝐮𝐚𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧:

   (𝐢𝐢𝐢) 𝐱 < -𝟏 𝐨𝐫 𝐱 < 𝟑

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

    𝐱 ∈ (-∞, -𝟏) 𝐨𝐫 𝐱 ∈ (-∞, 𝟑)

(4) 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐧𝐞𝐪𝐮𝐚𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧:

     (𝐢𝐯) – 𝟐𝐱 > 𝟎 𝐨𝐫 𝟑𝐱 – 𝟒 < 𝟏𝟏

      𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

-𝟐𝐱 > 𝟎 ⇒ 𝟐𝐱 < 𝟎 ⇒ 𝐱 < 𝟎

𝐱 ∈ (-∞, 𝟎)

𝟑𝐱 – 𝟒 < 𝟏𝟏

⇒ 𝟑𝐱 – 𝟒 + 𝟒 < 𝟏𝟏 + 𝟒

= 𝟑𝐱 <𝟏𝟓

= 𝟑𝐱/𝟑 < 𝟏𝟓/𝟑

(𝐢,𝐞) 𝐱<𝟓

2. 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞 𝟐𝟑𝐱 < 𝟏𝟎𝟎 𝐰𝐡𝐞𝐧 (𝐢) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫, (𝐢𝐢) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐞𝐫.

(𝗶) 𝟐𝟑𝐱 < 𝟏𝟎𝟎 ,𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫,

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

 𝟐𝟑𝐱 < 𝟏𝟎𝟎

 𝐱< 𝟏𝟎𝟎/𝟐𝟑

 𝐱={𝟏,𝟐,𝟑,𝟒}

(𝗶𝗶) 𝟐𝟑𝐱 < 𝟏𝟎𝟎 , ) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐞𝐫.

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

 𝐱={....-𝟑,-𝟐,-𝟏,𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒}

3. 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞 -𝟐𝐱 ≥ 𝟗 𝐰𝐡𝐞𝐧,( 𝐢) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫,(𝐢𝐢) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐞𝐫, (𝐢𝐢𝐢) 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫.

         ,( 𝐢) -𝟐𝐱 ≥ 𝟗 𝐰𝐡𝐞𝐧, 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫.

       𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

 -𝟐𝐱 >_ 𝟗

  𝐱 >_ -𝟗/𝟐

 = 𝟒.𝟓

 ,(𝐢𝐢) -𝟐𝐱 ≥ 𝟗 𝐰𝐡𝐞𝐧, 𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐞𝐫,

  𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

  𝐱 = …. -𝟑, -𝟐, -𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

(𝐢𝐢𝐢) -𝟐𝐱 ≥ 𝟗 𝐰𝐡𝐞𝐧, 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫.

𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐱 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

4. 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞: (𝐢) 𝟑(𝐱-𝟐) /𝟓 <_ 𝟓(𝟐-𝐱)

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

 𝟗(𝐱-𝟐) <_ 𝟐𝟓(𝟐-𝐱)

     𝟗𝐱-𝟏𝟖 <_ 𝟓𝟎 - 𝟐𝟓𝐱

     𝟗𝐱+𝟐𝟓𝐱 <_ 𝟓𝟎+𝟏𝟖

     𝟑𝟒𝐱 <_ 𝟔𝟖

     𝐱<_ 𝟐

5. 𝐓𝐨 𝐬𝐞𝐜𝐮𝐫𝐞 𝐚𝐧 𝐀 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞 𝐨𝐧𝐞 𝐦𝐮𝐬𝐭 𝐨𝐛𝐭𝐚𝐢𝐧 𝐚𝐧 𝐚𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 𝐨𝐟 𝟗𝟎 𝐦𝐚𝐫𝐤𝐬 𝐨𝐫 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐢𝐧 𝟓 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐬 𝐞𝐚𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐚 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐮𝐦 𝐨𝐟 𝟏𝟎𝟎 𝐦𝐚𝐫𝐤𝐬. 𝐈𝐟 𝐨𝐧𝐞 𝐬𝐜𝐨𝐫𝐞𝐝 𝟖𝟒, 𝟖𝟕, 𝟗𝟓, 𝟗𝟏 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐟𝐨𝐮𝐫 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐬, 𝐰𝐡𝐚𝐭 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐮𝐦 𝐦𝐚𝐫𝐤 𝐨𝐧𝐞 𝐬𝐜𝐨𝐫𝐞𝐝 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐟𝐭𝐡 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭 𝐭𝐨 𝐠𝐞𝐭 𝐚𝐧 𝐀 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐜𝐨𝐮𝐫𝐬𝐞?

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

               𝐆𝐢𝐯𝐞𝐧, 𝐭𝐨 𝐬𝐞𝐜𝐮𝐫𝐞 𝐀 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞 𝐢𝐧 𝟓 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐬 𝐫𝐞𝐪𝐮𝐢𝐫𝐞𝐝 𝐚𝐯𝐞𝐫𝐚𝐠𝐞 𝐦𝐚𝐫𝐤 𝐨𝐟 𝟗𝟎 𝐨𝐫 𝐦𝐨𝐫𝐞.

𝐓𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐫𝐤𝐬 𝐬𝐜𝐨𝐫𝐞𝐝 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐟𝐨𝐮𝐫 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐬 𝐚𝐫𝐞 𝟖𝟒, 𝟖𝟕, 𝟗𝟓, 𝟗𝟏

𝐋𝐞𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐫𝐤𝐬 𝐬𝐜𝐨𝐫𝐞𝐝 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐟𝐭𝐡 𝐬𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭 𝐛𝐞.

𝐓𝐡𝐞𝐧 𝐛𝐲 𝐭𝐡𝐞 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐝𝐚𝐭𝐚, 𝐰𝐞 𝐡𝐚𝐯𝐞

𝐒𝐚𝐦𝐚𝐜𝐡𝐞𝐞𝐫 𝐊𝐚𝐥𝐯𝐢 𝟏𝟏𝐭𝐡 𝐌𝐚𝐭𝐡𝐬 𝐆𝐮𝐢𝐝𝐞 𝐂𝐡𝐚𝐩𝐭𝐞𝐫 𝟐 𝐁𝐚𝐬𝐢𝐜 𝐀𝐥𝐠𝐞𝐛𝐫𝐚 𝐄𝐱 𝟐.𝟑 𝟓

𝐌𝐮𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐲𝐢𝐧𝐠 𝐛𝐨𝐭𝐡 𝐬𝐢𝐝𝐞𝐬 𝐛𝐲 𝟓, 𝐰𝐞 𝐠𝐞𝐭

𝟑𝟓𝟕 + 𝐱 ≥ 𝟒𝟓𝟎

𝐱 ≥ 𝟒𝟓𝟎 – 𝟑𝟓𝟕

𝐱 ≥ 𝟗𝟑

∴ 𝐓𝐡𝐞 𝐩𝐞𝐫𝐬𝐨𝐧 𝐦𝐮𝐬𝐭 𝐨𝐛𝐭𝐚𝐢𝐧 𝐚 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐮𝐦 𝐨𝐟 𝟗𝟑 𝐦𝐚𝐫𝐤𝐬 𝐭𝐨 𝐠𝐞𝐭 𝐀 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐞 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐜𝐨𝐮𝐫𝐬𝐞.

6. 𝐀 𝐦𝐚𝐧𝐮𝐟𝐚𝐜𝐭𝐮𝐫𝐞𝐫 𝐡𝐚𝐬 𝟔𝟎𝟎 𝐥𝐢𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐚 𝟏𝟐 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐟 𝐚𝐜𝐢𝐝. 𝐇𝐨𝐰 𝐦𝐚𝐧𝐲 𝐥𝐢𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐚 𝟑𝟎 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭 𝐚𝐜𝐢𝐝 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐦𝐮𝐬𝐭 𝐛𝐞 𝐚𝐝𝐝𝐞𝐝 𝐭𝐨 𝐢𝐭 𝐬𝐨 𝐭𝐡𝐚𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐚𝐜𝐢𝐝 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐞𝐧𝐭 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐫𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐢𝐧𝐠 𝐦𝐢𝐱𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐰𝐢𝐥𝐥 𝐛𝐞 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝟏𝟓 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭 𝐛𝐮𝐭 𝐥𝐞𝐬𝐬 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝟏𝟖 𝐩𝐞𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭?

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝟏𝟐% 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐟 𝐚𝐜𝐢𝐝 𝐢𝐧 𝟔𝟎𝟎 𝐥 ⇒ 𝟔𝟎𝟎 × 𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟐 𝐥 𝐨𝐟 𝐚𝐜𝐢𝐝

𝟏𝟓% 𝐨𝐟 𝟔𝟎𝟎 𝐥 ⇒ 𝟔𝟎𝟎 × 𝟏𝟓𝟏𝟎𝟎 = 𝟗𝟎 𝐥

𝟏𝟖% 𝐨𝐟 𝟔𝟎𝟎 𝐥 ⇒ 𝟔𝟎𝟎 × 𝟏𝟖𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 𝐥

𝐋𝐞𝐭 𝐱 𝐥𝐢𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝟏𝟖% 𝐚𝐜𝐢𝐝 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐛𝐞 𝐚𝐝𝐝𝐞𝐝

(𝟔𝟎𝟎 + 𝐱)𝟏𝟓 ≥ 𝟕𝟐𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝐱

𝟗𝟎𝟎𝟎+ 𝟏𝟓𝐱 ≥ 𝟕𝟐𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝐱

𝟏𝟖𝟎𝟎 ≥ 𝟏𝟓𝐱

𝐱 ≤ 𝟏𝟐𝟎

𝐋𝐞𝐭 𝐱 𝐥𝐢𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝟏𝟖% 𝐚𝐜𝐢𝐝 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐛𝐞 𝐚𝐝𝐝𝐞𝐝

𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟖 ≤ 𝟕𝟐𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝐱

𝟑𝟔𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟐𝐱

𝐱 > 𝟑𝟎𝟎

𝐓𝐡𝐞 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝟏𝟐𝟎 ≤ 𝐱 > 𝟑𝟎𝟎

𝟭𝟮% 𝘀𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗼𝗳 𝗮𝗰𝗶𝗱 𝗶𝗻 𝟲𝟬𝟬 𝗹 ⇒ 𝟲𝟬𝟬 × 𝟭𝟮𝟭𝟬𝟬 = 𝟳𝟮 𝗹 𝗼𝗳 𝗮𝗰𝗶𝗱

𝟭𝟱% 𝗼𝗳 𝟲𝟬𝟬 𝗹 ⇒ 𝟲𝟬𝟬 × 𝟭𝟱𝟭𝟬𝟬 = 𝟵𝟬 𝗹

𝟭𝟴% 𝗼𝗳 𝟲𝟬𝟬 𝗹 ⇒ 𝟲𝟬𝟬 × 𝟭𝟴𝟭𝟬𝟬 = 𝟭𝟬𝟴 𝗹

𝗟𝗲𝘁 𝘅 𝗹𝗶𝘁𝗿𝗲𝘀 𝗼𝗳 𝟭𝟴% 𝗮𝗰𝗶𝗱 𝘀𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗯𝗲 𝗮𝗱𝗱𝗲𝗱

(𝟲𝟬𝟬 + 𝘅)𝟭𝟱 ≥ 𝟳𝟮𝟬𝟬 + 𝟯𝟬𝘅

𝟵𝟬𝟬𝟬+ 𝟭𝟱𝘅 ≥ 𝟳𝟮𝟬𝟬 + 𝟯𝟬𝘅

𝟭𝟴𝟬𝟬 ≥ 𝟭𝟱𝘅

𝘅 ≤ 𝟭𝟮𝟬

𝗟𝗲𝘁 𝘅 𝗹𝗶𝘁𝗿𝗲𝘀 𝗼𝗳 𝟭𝟴% 𝗮𝗰𝗶𝗱 𝘀𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗯𝗲 𝗮𝗱𝗱𝗲𝗱

𝟭𝟬𝟴𝟬𝟬 + 𝟭𝟴 ≤ 𝟳𝟮𝟬𝟬 + 𝟯𝟬𝘅

𝟯𝟲𝟬𝟬 ≤ 𝟭𝟮𝘅

𝘅 > 𝟯𝟬𝟬

𝗧𝗵𝗲 𝘀𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗶𝘀 𝟭𝟮𝟬 ≤ 𝘅 > 𝟯𝟬𝟬.

7. 𝐅𝐢𝐧𝐝 𝐚𝐥𝐥 𝐩𝐚𝐢𝐫𝐬 𝐨𝐟 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐜𝐮𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐨𝐝𝐝 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫𝐬 𝐛𝐨𝐭𝐡 𝐨𝐟 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐚𝐫𝐞 𝐥𝐚𝐫𝐠𝐞𝐫 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝟏𝟎 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞𝐢𝐫 𝐬𝐮𝐦 𝐢𝐬 𝐥𝐞𝐬𝐬 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝟒𝟎.

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐋𝐞𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐰𝐨 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫𝐬 𝐛𝐞 𝐱 𝐚𝐧𝐝 𝐱 + 𝟐

𝐱 + 𝐱 + 𝟐 < 𝟒𝟎

⇒ 𝟐𝐱 < 𝟑𝟖

⇒ 𝐱< 𝟏𝟗 𝐚𝐧𝐝 𝐱 > 𝟏𝟎

𝐬𝐨 𝐱 = 𝟏𝟏 ⇒ 𝐱 + 𝟐 = 𝟏𝟑

𝐱 = 𝟏𝟑 ⇒ 𝐱 + 𝟐 = 𝟏𝟓

𝐱 = 𝟏𝟓 ⇒ 𝐱 + 𝟐 = 𝟏𝟕

𝐖𝐡𝐞𝐧 𝐱 = 𝟏𝟕 ⇒ 𝐱 + 𝟐 = 𝟏𝟗

𝐒𝐨 𝐭𝐡𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐩𝐚𝐢𝐫𝐬 𝐚𝐫𝐞 (𝟏𝟏, 𝟏𝟑), (𝟏𝟑, 𝟏𝟓), (𝟏𝟓, 𝟏𝟕), (𝟏𝟕, 𝟏𝟗)

8. 𝐀 𝐦𝐨𝐝𝐞𝐥 𝐫𝐨𝐜𝐤𝐞𝐭 𝐢𝐬 𝐥𝐚𝐮𝐧𝐜𝐡𝐞𝐝 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐭𝐡𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐧𝐝. 𝐓𝐡𝐞 𝐡𝐞𝐢𝐠𝐡𝐭 𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐫𝐨𝐜𝐤𝐞𝐭 𝐚𝐟𝐭𝐞𝐫 𝐭 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝𝐬 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐥𝐢𝐟𝐭 𝐨𝐟𝐟 𝐢𝐬 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐛𝐲 𝐡(𝐭) = -𝟓𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝐭; 𝟎 ≤ 𝐫 ≤ 𝟐𝟎. 𝐀𝐭 𝐰𝐡𝐚𝐭 𝐭𝐢𝐦𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐫𝐨𝐜𝐤𝐞𝐭 𝐢𝐬 𝟒𝟗𝟓 𝐟𝐞𝐞𝐭 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐧𝐝?

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐆𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐡(𝐭) = – 𝟓𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝐭, 𝟎 ≤ 𝐭 ≤ 𝟐𝟎.

𝐋𝐞𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐭𝐢𝐦𝐞 𝐛𝐞 ‘𝐭’ 𝐬𝐞𝐜 𝐰𝐡𝐞𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐫𝐨𝐜𝐤𝐞𝐭 𝐢𝐬 𝟒𝟗𝟓 𝐟𝐞𝐞𝐭 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐧𝐝.

∴ 𝐡 (𝐭) = 𝟒𝟗𝟓 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐢𝐦𝐞 ‘𝐭’ 𝐬𝐞𝐜

-𝟓𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝐭 = 𝟒𝟗𝟓

𝟓𝐭𝟐 – 𝟏𝟎𝟎𝐭 + 𝟒𝟗𝟓 = 𝟎

𝐭𝟐 – 𝟐𝟎𝐭 + 𝟗𝟗 = 𝟎

𝐭𝟐 – 𝟏𝟏𝐭 – 𝟗𝐭 + 𝟗𝟗 = 𝟎

𝐭(𝐭 – 𝟏𝟏) – 𝟗(𝐭 – 𝟏𝟏) = 𝟎

(𝐭 – 𝟗 ) (𝐭 – 𝟏𝟏 ) = 𝟎

𝐭 – 𝟗 = 𝟎 𝐨𝐫 𝐭 – 𝟏𝟏 = 𝟎

𝐭 = 𝟗 𝐨𝐫 𝐭 = 𝟏𝟏

∴ 𝐀𝐭 𝐭 = 𝟏𝟏 𝐨𝐫 𝟗 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝𝐬, 𝐭𝐡𝐞 𝐫𝐨𝐜𝐤𝐞𝐭 𝐢𝐬 𝟒𝟗𝟓 𝐟𝐞𝐞𝐭 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐠𝐫𝐨𝐮𝐧𝐝.

9. 𝐀 𝐏𝐥𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫 𝐜𝐚𝐧 𝐛𝐞 𝐩𝐚𝐢𝐝 𝐚𝐜𝐜𝐨𝐫𝐝𝐢𝐧𝐠 𝐭𝐨 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞𝐬: 𝐈𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 𝐡𝐞 𝐰𝐢𝐥𝐥 𝐛𝐞 𝐩𝐚𝐢𝐝 𝐑𝐬. 𝟓𝟎𝟎 𝐩𝐥𝐮𝐬 𝐑𝐬.𝟕𝟎 𝐩𝐞𝐫 𝐡𝐨𝐮𝐫, 𝐚𝐧𝐝 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 𝐡𝐞 𝐰𝐢𝐥𝐥 𝐛𝐞 𝐩𝐚𝐢𝐝 𝐑𝐬. 𝟏𝟐𝟎 𝐩𝐞𝐫 𝐡𝐨𝐮𝐫. 𝐈𝐟 𝐡𝐞 𝐰𝐨𝐫𝐤𝐬 𝐱 𝐡𝐨𝐮𝐫𝐬, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐫 𝐰𝐡𝐚𝐭 𝐯𝐚𝐥𝐮𝐞 𝐨𝐟 𝐱 𝐝𝐨𝐞𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 𝐠𝐢𝐯𝐞 𝐛𝐞𝐭𝐭𝐞𝐫 𝐰𝐚𝐠𝐞𝐬?

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐋𝐞𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫 𝐨𝐟 𝐡𝐨𝐮𝐫𝐬 𝐭𝐨 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐭𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐣𝐨𝐛 = 𝐱

𝐖𝐚𝐠𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 = 𝐑𝐬. 𝟓𝟎𝟎 + 𝐑𝐬. 𝟕𝟎 𝐩𝐞𝐫 𝐡𝐨𝐮𝐫 = 𝟓𝟎𝟎 + 𝟕𝟎𝐱

𝐖𝐚𝐠𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 = 𝐑𝐬. 𝟏𝟐𝟎 𝐩𝐞𝐫 𝐡𝐨𝐮𝐫 = 𝟏𝟐𝟎𝐱

𝐋𝐞𝐭 𝐮𝐬 𝐟𝐢𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐯𝐚𝐥𝐮𝐞 𝐨𝐟 𝐱 𝐟𝐨𝐫 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐬 𝐛𝐞𝐭𝐭𝐞𝐫 𝐰𝐚𝐠𝐞𝐬.

𝟓𝟎𝟎 + 𝟕𝟎𝐱 > 𝟏𝟐𝟎𝐱

𝟓𝟎𝟎 > 𝟏𝟐𝟎𝐱 – 𝟕𝟎𝐱

𝟓𝟎𝟎 > 𝟓𝟎𝐱

𝟓𝟎𝟎𝟓𝟎 > 𝐱

𝐱 < 𝟏𝟎

∴ 𝐓𝐡𝐞 𝐯𝐚𝐥𝐮𝐞 𝐨𝐟 𝐱 𝐬𝐨 𝐭𝐡𝐚𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐬𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐬 𝐛𝐞𝐭𝐭𝐞𝐫 𝐰𝐚𝐠𝐞𝐬 𝐢𝐬 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗.

10. 𝐀 𝐚𝐧𝐝 𝐁 𝐚𝐫𝐞 𝐰𝐨𝐫𝐤𝐢𝐧𝐠 𝐨𝐧 𝐬𝐢𝐦𝐢𝐥𝐚𝐫 𝐣𝐨𝐛𝐬 𝐛𝐮𝐭 𝐭𝐡𝐞𝐢𝐫 𝐚𝐧𝐧𝐮𝐚𝐥 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫 𝐛𝐲 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐑𝐬 𝟔𝟎𝟎𝟎. 𝐈𝐟 𝐁 𝐞𝐚𝐫𝐧𝐬 𝐑𝐬. 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 𝐩𝐞𝐫 𝐦𝐨𝐧𝐭𝐡, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐚𝐭 𝐚𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐀’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐩𝐞𝐫 𝐦𝐨𝐧𝐭𝐡?

    𝐒𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧:

𝐋𝐞𝐭 𝐀’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐛𝐞 𝐱, 𝐁’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐢𝐬 𝐑𝐬. 𝟐𝟕,𝟎𝟎𝟎

𝐆𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐭𝐡𝐞𝐢𝐫 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐢𝐧 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐢𝐬 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐑𝐬. 𝟔,𝟎𝟎𝟎

𝐀𝐬𝐬𝐮𝐦𝐞 𝐀’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐢𝐬 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐁’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲.

∴ 𝐱 – 𝟐𝟕,𝟎𝟎𝟎 > 𝟔𝟎𝟎𝟎

∴ 𝐱 > 𝟔𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎

𝐱 > 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎

𝐀𝐬𝐬𝐮𝐦𝐞 𝐁’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐢𝐬 𝐦𝐨𝐫𝐞 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐀’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲.

∴ 𝟐𝟕,𝟎𝟎𝟎 – 𝐱 > 𝟔𝟎𝟎𝟎

∴ 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 – 𝟔𝟎𝟎𝟎 > 𝐱

𝐱 < 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎

𝐓𝐡𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐢𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐀’𝐬 𝐬𝐚𝐥𝐚𝐫𝐲 𝐚𝐫𝐞 𝐠𝐫𝐞𝐚𝐭𝐞𝐫 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐑𝐬. 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎 𝐨𝐫 𝐥𝐞𝐬𝐬 𝐭𝐡𝐚𝐧 𝐑𝐬. 𝟐𝟏,𝟎𝟎𝟎.